Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera

Niech \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb C\hskip 0.3pc \) będzie funkcją taką, że \( \hskip 0.3pc |f| \hskip 0.3pc \) jest całkowalna na \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc f\in L^1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) (Czytelnik nieobeznany z funkcjami o wartościach zespolonych może przyjąć, że \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, czyli \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \)).

Definicja 1:

Dla danej funkcji \( \hskip 0.3pc f\in L^1(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) funkcje \( \hskip 0.3pc \hat{f}:\mathbb R \to \mathbb C\hskip 0.3pc \) daną wzorem

(1)

\( \hat f(y)= \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi}f(x)dx \)

nazywamy transformatą Fouriera funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i oznaczamy symbolem \( \hskip 0.3pc {\cal F}(f).\hskip 0.3pc \) Odwzorowanie \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) przyporządkujące funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jej transformatę nazywamy przekształceniem (transformacją) Fouriera.

Uwaga 1:

Można pokazać (dowód pomijamy), że jeśli \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \hat f\hskip 0.3pc \) są całkowalne, to

(2)

\( f(x) =\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{xyi}\hat f(y)dy \)

prawie wszędzie. Odwzorowanie określone prawą stroną wzoru ( 2 ) oznaczamy symbolem \( \hskip 0.3pc {\cal F}^{-1}\hskip 0.3pc \) i nazywamy przekztałceniem odwrotnym ( transformacją odwrotną ) Fouriera, a funkcję \( \hskip 0.3pc {\cal F}^{-1}(\hat f)\hskip 0.3pc \) nazywamy transformatą odwrotną.

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \big|e^{ixy}\big|=\big|e^{-ixy}\big|=1,\hskip 0.3pc \) przekształcenia ( 1 ) i ( 2 ) są dobrze określone dla dowolnych całkowalnych funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \hat f.\hskip 0.3pc \)
Należy zaznaczyć, że używanie terminu transformacja odwrotna jest tutaj pewnym nadużyciem, bowiem nie każda tranformata funkcji z \( \hskip 0.3pc L^1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest funkcją całkowalną, nie dla każdej więc transformaty jest określone przekształcenie ( 2 ) . Formalnie, aby móc mówić o przekształceniu odwrotnym, należałoby przekztałcenie \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) zawęzić do podzbioru na którym jest odwracalne.

Korzystając ze wzoru Eulera

\( e^{-ix}=\cos x - i \sin x , \)

przekształcenie ( 1 ), w przypadku gdy \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, możemy zapisać w postaci równoważnej

\( {\cal F}(f) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}\cos (xy)\,f(x)dx-i\dfrac1{\sqrt{2\pi}} \displaystyle\int_{\mathbb R}\sin (xy)\,f(x)dx \)

Definicja 2:

Dla funkcji \( \hskip 0.3pc f: \mathbb R^n \to \mathbb C\hskip 0.3pc \) ( w szczególności \( \hskip 0.3pc f: \mathbb R^n \to \mathbb R\hskip 0.3pc \)) transformatę Fouriera oraz transformatę odwrotną do transformaty Fouriera określamy wzorami:

\( \hat f(y_1,\ldots ,y_n)= \dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-x\cdot y\,i}f(x_1,\ldots ,x_n)dx_1\ldots dx_n \)

oraz

\( f(x_1,\ldots ,x_n)= \dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{x\cdot y\,i}\hat f(y_1,\ldots ,y_n)dy_1 \ldots dy_n, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc x\cdot y= x_1y_1+\ldots +x_ny_n.\hskip 0.3pc \)

Uwaga 2:

Wielu autorów transformatę Fouriera funkcji \( \hskip 0.3pc f: \mathbb R^n \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) określa wzorem

\( \hat f(y)= \displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-x\cdot y\,i}f(x)dx. \)

Wówczas transformata odwrotna ma postać

\( f(x)= \dfrac 1{({2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{x\cdot y\,i}\hat f(y)dy. \)

Uwaga 3:

Niech \( \hskip 0.3pc f\in L^1(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \) Wówczas \( \hskip 0.3pc \hat f\in L^{\infty }(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \)

Istotnie

\( \begin{aligned}\|\hat f\|_{\infty}=&\sup_{y\in \mathbb R^n}|\hat f(y)|=\sup_{y\in \mathbb R^n}\Big|{(\sqrt{2\pi})^{-n}} \displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{ x\cdot y i}f( x)d x\Big|\leq\\\leq&\big(\sqrt{2\pi}\big)^{-n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}|f(x)|d x=\big(\sqrt{2\pi}\big)^{-n} \|f\|_{L^1(\mathbb R^n)}.\end{aligned} \)

Przedstawimy teraz podstawowe własności transformaty Fouriera.

Załóżmy, że transformata Fouriera z rozważanych funkcji istnieje. Zgodnie z przyjętą powyżej konwencją niech \( \hskip 0.3pc \hat f\hskip 0.3pc \) oznacza transformatę Fouriera funkcji \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc \hat f={\cal F}(f).\hskip 0.3pc \) Podobnie, jak w przypadku przekształcenia Laplace'a, aby móc zapisac operacje na argumentach funkcji \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) będziemy używać zapisu \( \hskip 0.3pc {\cal F}(f(x))\hskip 0.3pc \) w miejsce \( \hskip 0.3pc {\cal F}(f).\hskip 0.3pc \)
Wymienimy teraz podstawowe własności przekształcenia Fouriera. Dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do przypadku \( \hskip 0.3pc n=1,\hskip 0.3pc \) pozostawiając Czytelnikowi sformułowanie i dowód tych własności dla \( \hskip 0.3pc n\geq 2\hskip 0.3pc \) (Formalnie rozważania są identyczne).

Własność 1:

(i) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f(ax)\big)(y) = \dfrac 1{|a|}\hat f(\tfrac ya);\hskip 0.3pc \)

(ii) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f(-x)\big)(y)= {\cal F}\big(f(x)\big)(-y)=\overline{{\cal F}\big(\overline {f(x)}\big)(y)},\hskip 0.2pc \)( \( \hskip 0.1pc \overline z\hskip 0.3pc \) oznacza liczbę sprzężoną do \( \hskip 0.3pc z;\hskip 0.1pc \))

(iii) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f(x-a)\big)(y) = e^{-iay}\hat f(y);\hskip 0.3pc \)

(iv) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( e^{bxi}f(x)\big)(y) = \hat f(y-b);\hskip 0.3pc \)

(v) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f^{(k)}(x)\big)(y) = (iy)^k\hat f(y);\hskip 0.3pc \)

(vi) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( (-ix)^kf(x)\big)(y) = \hat f^{(k)}(y);\hskip 0.3pc \)

(vii) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( (f\star g)(x)\big)(y) = \sqrt{2\pi}\hat f(y)\,\hat g(y).\hskip 0.3pc \)

Ad. (i). Niech \( \hskip 0.3pc a>0\hskip 0.3pc \) (dla \( \hskip 0.3pc a<0\hskip 0.3pc \) argument jest analogiczny). Stosując podstawienie \( \hskip 0.3pc z=ax\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( {\cal F}\big( f(ax)\big)(y)= \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi}f(ax)dx=\dfrac 1a \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-z\frac ya i}f(z)dz =\dfrac 1{a}\hat f\big(\tfrac ya\big). \)

Nietrudno sprawdzić, że jeśli \( \hskip 0.3pc x\in \mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) to własność (i) przyjmuje postać:
(i'). \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f(ax)\big)(y) = \dfrac 1{|a|^n}\hat f(\tfrac ya);\hskip 0.3pc \)

Ad. (ii). Pierwsza równość wynika natychmiast z własności (i). Dalej

\( \begin{aligned}{\cal F}(f)(-y)=& \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-x(-y)i}f(x)dx=\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{xyi}f(x)dx= \\&{\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}\overline{e^{-xyi}}f(x)dx} = \overline{ \dfrac 1{\sqrt{2\pi}} \displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi}\overline{f(x)}dx} =\overline{{\cal F}(\overline f)(y)}.\end{aligned} \)

Ad. (iii). Stosując podstawienie \( \hskip 0.3pc z=x-a\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \begin{aligned}{\cal F}\big( f(x-a)\big)(y)=& \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi}f(x-a)dx=\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-(z+a)yi}f(z)dz=\\& e^{-ayi}\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-zyi}f(z)dz= e^{-iay}\hat f(y).\end{aligned} \)

Ad. (iv). Wykorzystując wzór ( 1 ) mamy

\( {\cal F}\big(e^{bxi} f(x)\big)(y)=\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi}e^{xbi}f(x)dx= \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-(y-b)xi}f(x)dx= \hat f(y-b). \)

Ad. (v). Sprawdźmy najpierw wzór (v) dla \( \hskip 0.3pc k=1.\hskip 0.3pc \)

\( \begin{aligned}{\cal F}\big( f^\prime (x)\big)(y)=&\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi} f^\prime(x)dx=\\& \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\Big(f(x)e^{-xyi}\Big|_{-\infty}^{+\infty} + iy\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi}f(x)dx\Big)=\\&\dfrac {iy}{\sqrt{2\pi}} \displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi}f(x)dx =iy\hat f(y).\end{aligned} \)

Metodą indukcji matematycznej nietrudno sprawdzić, że własność (v) zachodzi dla dowolnego \( \hskip 0.3pc k.\hskip 0.3pc \)

Ad. (vi). Różniczkując względem \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) równość ( 1 ) otrzymamy

\( \hat f^\prime (y)= \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-ixy}(-ix)f(x)dx, \)

co oznacza, że

\( {\cal F}\big(-ix f(x)\big)(y)=\hat f^\prime (y). \)

Wykorzystując metodę indukcji matematycznej nietrudno sprawdzić, że własność (vi) zachodzi dla dowolnego \( \hskip 0.3pc k\in\mathbb N.\hskip 0.3pc \)

Ad. (vii). Korzystając z definicji 1 oraz definicji splotu funkcji mamy

\( \begin{aligned}{\cal F}\big( (f\star g)(x)\big)(y)=& \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}\bigg[e^{-ixy} \displaystyle\int_{\mathbb R}f(x-\tau )g(\tau )d\tau \bigg]dx=\\& \displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-iy\tau}g(\tau ) \bigg[\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-iy(x-\tau)}f(x-\tau ) dx \bigg]d\tau=\\& \displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-iy\tau}g(\tau )\, \hat f(y)d\tau = \sqrt{2\pi}\hat f(y) \dfrac 1{\sqrt{2\pi}} \displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-iy\tau}g(\tau )d\tau =\\& \sqrt{2\pi}\hat f(y) \hat g(y).\end{aligned} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email: